标签： 数学

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\\ & +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n\end{array}$$ 观察各个项，行和列按$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$的顺序排列成表格，每个格子内为行列相乘的项，平方项恰在对角线位置，其他项放在对角线上三角区域，可以得到下面方阵： $$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1& a_{11}{x}_1^2& 2a_{12}{x}_1{x}_2& 2a_{13}{x}_1{x}_3& \cdots & 2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ x_2& 0& a_{22}{x}_2^2& 2a_{23}{x}_2{x}_3& \cdots & 2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ x_3& 0& 0& a_{33}{x}_3^2& \cdots & 2a_{3n}{x}_3{x}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n& 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}{x}_n^2\end{array}\end{array}$$ 如果把像 $2a_{12} , 2a_{13},\dots,2a_{(n-1)n}$ 这样的2倍的系数沿着对角线对称的位置拆分放置，即$a_{12}=a_{21} , a_{13}=a_{31},\dots,a_{(n-1)n}=a_{n(n-1)}$，那么可以得到下面的样子：

继续阅读“二次型与矩阵对应关系”

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论 $$\{\begin{array}{rl}a.& 特征值无重根✅\\ b.& 有重根\{\begin{array}{rl}b.1.& 厄米特矩阵(Hermitian),\\ & 特别的对称实数矩阵✅\\ b.2.& 非厄矩阵\{\begin{array}{rl}b.2.& 1.几何重数\\ & =代数重数✅\\ b.2.& 2.几何重数\\ & \ne 代数重数❌\end{array}\end{array}\end{array}$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。

继续阅读“矩阵对角化”

一元n次方程 $$\begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0 \end{align}$$ 的根为$x_1, x_2, …, x_n$，其中$a_n \neq 0$。 那么(1)式可以写成下面的形式： $$\begin{align} a_n(x – x_1)(x – x_2)…(x – x_n) = 0 \end{align}$$

将其展开,并观察多项式系数,$x_{n-1}$的系数: $$-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n$$ 常数项： $$(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n$$

比较常数项和$x_{n-1}$的系数，可以得到： $$\begin{aligned} a_0 &=(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n \\ a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n \end{aligned}$$

$\therefore$ $$\begin{equation} \begin{aligned} &\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2…x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\ &\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + … + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{aligned} \end{equation}$$

这就是一元n次方程的韦达公式。

在初中我们就学过很多种直线的表示

一般式： $Ax+By+C=0$ $A,B$不能同时为零；
斜截式： $y = kx + b$ ,其中 $k$ 是斜率(slope)，表示直线与x轴正方向夹角的正切值，$b$ 是纵截距(y-intercept,截距可以是负值)，表示直线与y轴的交点的纵坐标；
点斜率： $y – y_{1} = k(x – x_{1})$,其中 $(x_{1},y_{1})$ 表示直线上一点， $k$表示直线斜率；
截距式： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,其中 $a,b$分别表示直线与x轴和y轴的截距，也就是与x轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标；
两点式： $\frac{x – x_{1}}{x_{2} – x_{1}} = \frac{y – y_{1}}{y_{2} – y_{1}}$，其中 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 表示直线上两点坐标；

继续阅读“直线与平面的向量表示”

GDI+ 提供用于存储和操作图像的 Image 和 Bitmap 类。 Image 和 Bitmap 对象用一个 32 位数字存储每个像素的颜色：红、绿、蓝和 Alpha 各 8 位。 这四个分量的值都是 0 到 255，其中 0 表示没有亮度，255 表示最大亮度。 alpha 分量指定颜色的透明度：0 表示完全透明，255 表示完全不透明。

颜色矢量采用 4 元组形式（红色、绿色、蓝色、alpha）。 例如，颜色矢量 (0, 255, 0, 255) 表示一种没有红色和蓝色但绿色达到最大亮度的不透明颜色。

表示颜色的另一种惯例是用数字 1 表示亮度达到最大。 通过使用这种约定，上一段中描述的颜色将可以由矢量 (0, 1, 0, 1) 表示。 在执行颜色变换时，GDI+ 遵循使用 1 为最大亮度的惯例。

可通过用 4×4 矩阵乘以这些颜色矢量将线性变换（旋转和缩放等）应用到颜色矢量中。 但是，您不能使用 4×4 矩阵进行平移（非线性）。 如果在每个颜色矢量中再添加一个虚拟的第 5 坐标（例如，数字 1），则可使用 5×5 矩阵应用任何组合形式的线性变换和平移。 由线性变换组成的后跟平移的变换称为仿射变换。

例如，假设您希望从颜色 (0.2, 0.0, 0.4, 1.0) 开始并应用下面的变换：

1. 将红色分量乘以 2。
2. 将 0.2 添加到红色、绿色和蓝色分量中。

下面的矩阵乘法将按照列出的顺序进行这对变换。

颜色矩阵的元素按照先行后列（从 0 开始）的顺序进行索引。 例如，矩阵 M 的第五行第三列由 M[4][2] 表示。

5×5 单位矩阵（在下面的插图中显示）在对角线上为 1，在其他任何地方为 0。 如果用单位矩阵乘以颜色矢量，则颜色矢量不会发生改变。 形成颜色变换矩阵的一种简便方法是从单位矩阵开始，然后进行较小的改动以产生所需的变换。

有关矩阵和变换的更详细的讨论，请参见坐标系统和变形。

示例

下面的示例采用一个使用一种颜色 (0.2, 0.0, 0.4, 1.0) 的图像，并应用上一段中描述的变换。

下面的插图在左侧显示原来的图像，在右侧显示变换后的图像。

下面示例中的代码使用以下步骤进行重新着色：

1. 初始化 ColorMatrix 对象。
2. 创建一个 ImageAttributes 对象，并将 ColorMatrix 对象传递给 ImageAttributes 对象的 SetColorMatrix 方法。
3. 将 ImageAttributes 对象传递给 Graphics 对象的 DrawImage 方法。

C#

VB

Image image = new Bitmap(“InputColor.bmp”);
ImageAttributes imageAttributes = new ImageAttributes();
int width = image.Width;
int height = image.Height;

float[][] colorMatrixElements = {
   new float[] {2,  0,  0,  0, 0},        // red scaling factor of 2
   new float[] {0,  1,  0,  0, 0},        // green scaling factor of 1
   new float[] {0,  0,  1,  0, 0},        // blue scaling factor of 1
   new float[] {0,  0,  0,  1, 0},        // alpha scaling factor of 1
   new float[] {.2f, .2f, .2f, 0, 1}};    // three translations of 0.2

ColorMatrix colorMatrix = new ColorMatrix(colorMatrixElements);

imageAttributes.SetColorMatrix(
   colorMatrix,
   ColorMatrixFlag.Default,
   ColorAdjustType.Bitmap);

e.Graphics.DrawImage(image, 10, 10);

e.Graphics.DrawImage(
   image,
   new Rectangle(120, 10, width, height),  // destination rectangle
   0, 0,        // upper-left corner of source rectangle
   width,       // width of source rectangle
   height,      // height of source rectangle
   GraphicsUnit.Pixel,
   imageAttributes);

编译代码

前面的示例是为使用 Windows 窗体而设计的，它需要 Paint 事件处理程序的参数 PaintEventArgse。