韦达公式推导

一元n次方程 $$\begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0 \end{align}$$ 的根为$x_1, x_2, …, x_n$，其中$a_n \neq 0$。 那么(1)式可以写成下面的形式： $$\begin{align} a_n(x – x_1)(x – x_2)…(x – x_n) = 0 \end{align}$$

将其展开,并观察多项式系数,$x_{n-1}$的系数: $$-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n$$ 常数项： $$(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n$$

比较常数项和$x_{n-1}$的系数，可以得到： $$\begin{aligned} a_0 &=(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n \\ a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n \end{aligned}$$

$\therefore$ $$\begin{equation} \begin{aligned} &\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2…x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\ &\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + … + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{aligned} \end{equation}$$

这就是一元n次方程的韦达公式。