矩阵对角化

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论 $$\{\begin{array}{rl}a.& 特征值无重根✅\\ b.& 有重根\{\begin{array}{rl}b.1.& 厄米特矩阵(Hermitian),\\ & 特别的对称实数矩阵✅\\ b.2.& 非厄矩阵\{\begin{array}{rl}b.2.& 1.几何重数\\ & =代数重数✅\\ b.2.& 2.几何重数\\ & \ne 代数重数❌\end{array}\end{array}\end{array}$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。

定理2：

n阶矩阵$A$与对角矩阵相似（即$A$能对角化）的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。

推论：

如果n阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$与对角矩阵相似。

二、根据以上定理和推理特征值无重根的a和b.2.1情况一定可以对角化。

三、有重根情况b.1情况

3.1 厄米特矩阵

厄米特矩阵是满足$A^H=A$的矩阵，即$A^H$是$A$的共轭转置矩阵。

3.2 酉矩阵

满足$A^HA=I$的矩阵。酉矩阵，其列向量是规范正交的，其秩必为n。 $$A^{-1}=A^H$$ n阶n维线性无关向量必可以通过施密特正交化得到标准正交基矩阵，即是酉矩阵。

3.3 舒尔化矩阵

设n阶矩阵$A$的特征值$\lambda_k$有$k$重根，对应$m$个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量,组成一组基，把$\{p_1,p_2,\dots,p_m\}$扩充至n个（n维的最大线性无关组是n个），并施密特正交化，得到$P=(p_1,p_2,\dots,p_m,p_{m+1},\dots,p_n)$ $$AP=(\lambda_kp_1,\lambda_kp_2,\dots,\lambda_kp_m,Ap_{m+1},Ap_{m+2},\dots,Ap_n)$$

$$P^HAP= \begin{pmatrix} p_1^H \\ p_2^H\\ p_3^H\\ \vdots\\ p_m^H\\ p_{m+1}^H\\ \vdots\\ p_{n} \end{pmatrix}(\lambda_kp_1,\lambda_kp_2,\dots,\lambda_kp_m,Ap_{m+1},Ap_{m+2},\dots,Ap_n)$$

若$A=(a_{ij}), p_j=(q_{ij})$ 因为$P^H$的正交性，所以，

$$\begin{aligned} P^HAP &=\begin{pmatrix} \lambda_{k}& & & & p^H_1Ap_{m+1}&\cdots&p^H_1Ap_{n} \\ & \lambda_{k} & & & p^H_2Ap_{m+1}&\cdots&p^H_2Ap_{n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{k} & p^H_mAp_{m+1}&\cdots&p^H_mAp_{n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & p^H_{m+1}Ap_{m+1}&\cdots&p^H_{m+1}Ap_{n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&p^H_nAp_{m+1}&\cdots&p^H_nAp_{n}\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$ P为我们构造的酉矩阵，于是$\Rightarrow$， $$\begin{equation} \begin{aligned} P^{-1}AP&=P^HAP &=\begin{pmatrix} \lambda_{k}& & & & p^H_1Ap_{m+1}&\cdots&p^H_1Ap_{n} \\ & \lambda_{k} & & & p^H_2Ap_{m+1}&\cdots&p^H_2Ap_{n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{k} & p^H_mAp_{m+1}&\cdots&p^H_mAp_{n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & p^H_{m+1}Ap_{m+1}&\cdots&p^H_{m+1}Ap_{n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&p^H_nAp_{m+1}&\cdots&p^H_nAp_{n}\\ \end{pmatrix} \\ &=B \end{aligned} \end{equation}$$ 为书写方便，将(1)式$B$简写为块矩阵:

$$\begin{array}{rl}B& =\left(\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_k& & & & \ast & \cdots & \ast \\ & {\lambda }_k& & & \ast & \cdots & \ast \\ & & \ddots & & ⋮& & ⋮\\ & & & {\lambda }_k& \ast & \cdots & \ast \\ 0& 0& \cdots & 0& \ast & \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \ast & \cdots & \ast \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\\ {\lambda }_k& \\ & \ddots & & W\\ & & {\lambda }_k& \\ & O& & M\end{array}\right)\end{array}$$

其中$M$矩阵可以重复上面的步骤，最终得到上三角矩阵。

$A$与$B$相似，根据有关定理，它们具有相同的特征值。 $|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$

$$\begin{array}{rl}|B-\lambda E|& =\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_k-\lambda & \\ & \ddots & & W\\ & & {\lambda }_k-\lambda & \\ & O& & M-\lambda E\end{array}\right)\\ & =({\lambda }_k-\lambda {)}^{m}g(\lambda )\end{array}$$

又因为$\lambda_{k}$是$k$重根，所以$|A-\lambda E|=(\lambda_{k}-\lambda)^kf(\lambda)$ ，所以，几何重数$m$必小于代数重数$k$ , 即$m\leq k$。

又因为$P$为酉矩阵，所以 $$\begin{aligned} B^H&=(P^HAP)^H \\ &=(P^H(AP))^H \\ &=(AP)^H(P^H)^H \\ &=(AP)^HP \\ &=P^HA^HP \\ \end{aligned}$$

如果$A$为厄米特矩阵，则$B^H=B$，所以$B$也为厄米特矩阵。所以$B$必为对角矩阵。 所以，b.1情况一定可以对角化。

参考：
1. 厄米特矩阵
2. 舒尔定理
3. 几何重数小于等于代数重数