分类： 数学

基本参数

地球公转周期 365.2564 天
月球公转周期 27.32166 天
月球轨道面与地球轨道面交角 $\alpha=5°09'$
地球和月球都是椭圆轨道，但是考虑离心率都很小，可以近似为圆形。

计算思路

计算月食或者日食即计算向量 $\overrightarrow{SunEarth}$ 和 $\overrightarrow{EarthMoon}$ 的夹角如果接近0，即太阳、地球、月球一线月食发生。类似，若夹角180度，即日食发生。

1. 前言

我们经常收到银行的贷款推销，有的利息较高，我们通常就直接拒绝了，但是有些看似利息较低甚至可以“赚差价”的，没有仔细计算就接受了。如果仔细计算，就会发现其实中了圈套。

真实案例：
贷款分12期还款，贷款10000的话，每月还款848.333（等额本息），总计还款10180，年化利率1.8%？虽然1年期存款利率目前已经进入1时代，但是有些小银行或者理财产品可以做到2左右。按2%的平均利息水平粗略一算，10000块存起来可以赚200利息，贷款利息180，还能赚20块钱。聪明的读者，这样算对吗？能赚到利息差价吗？

乍一看，好像是赚了20块钱，但实际上赔了73块。下面我给大家详细算一下。

如遇网络问题无法下载，可以尝试国内镜像，网址把github改为gitee，其它不变

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\\ & +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n\end{array}$$ 观察各个项，行和列按$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$的顺序排列成表格，每个格子内为行列相乘的项，平方项恰在对角线位置，其他项放在对角线上三角区域，可以得到下面方阵： $$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1& a_{11}{x}_1^2& 2a_{12}{x}_1{x}_2& 2a_{13}{x}_1{x}_3& \cdots & 2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ x_2& 0& a_{22}{x}_2^2& 2a_{23}{x}_2{x}_3& \cdots & 2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ x_3& 0& 0& a_{33}{x}_3^2& \cdots & 2a_{3n}{x}_3{x}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n& 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}{x}_n^2\end{array}\end{array}$$ 如果把像 $2a_{12} , 2a_{13},\dots,2a_{(n-1)n}$ 这样的2倍的系数沿着对角线对称的位置拆分放置，即$a_{12}=a_{21} , a_{13}=a_{31},\dots,a_{(n-1)n}=a_{n(n-1)}$，那么可以得到下面的样子：

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论 $$\{\begin{array}{rl}a.& 特征值无重根✅\\ b.& 有重根\{\begin{array}{rl}b.1.& 厄米特矩阵(Hermitian),\\ & 特别的对称实数矩阵✅\\ b.2.& 非厄矩阵\{\begin{array}{rl}b.2.& 1.几何重数\\ & =代数重数✅\\ b.2.& 2.几何重数\\ & \ne 代数重数❌\end{array}\end{array}\end{array}$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。