分类： 数学

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$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\\ & +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n\end{array}$$ 观察各个项，行和列按$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$的顺序排列成表格，每个格子内为行列相乘的项，平方项恰在对角线位置，其他项放在对角线上三角区域，可以得到下面方阵： $$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1& a_{11}{x}_1^2& 2a_{12}{x}_1{x}_2& 2a_{13}{x}_1{x}_3& \cdots & 2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ x_2& 0& a_{22}{x}_2^2& 2a_{23}{x}_2{x}_3& \cdots & 2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ x_3& 0& 0& a_{33}{x}_3^2& \cdots & 2a_{3n}{x}_3{x}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n& 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}{x}_n^2\end{array}\end{array}$$ 如果把像 $2a_{12} , 2a_{13},\dots,2a_{(n-1)n}$ 这样的2倍的系数沿着对角线对称的位置拆分放置，即$a_{12}=a_{21} , a_{13}=a_{31},\dots,a_{(n-1)n}=a_{n(n-1)}$，那么可以得到下面的样子：

继续阅读“二次型与矩阵对应关系”

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论 $$\{\begin{array}{rl}a.& 特征值无重根✅\\ b.& 有重根\{\begin{array}{rl}b.1.& 厄米特矩阵(Hermitian),\\ & 特别的对称实数矩阵✅\\ b.2.& 非厄矩阵\{\begin{array}{rl}b.2.& 1.几何重数\\ & =代数重数✅\\ b.2.& 2.几何重数\\ & \ne 代数重数❌\end{array}\end{array}\end{array}$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。

继续阅读“矩阵对角化”

一元n次方程 $$\begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0 \end{align}$$ 的根为$x_1, x_2, …, x_n$，其中$a_n \neq 0$。 那么(1)式可以写成下面的形式： $$\begin{align} a_n(x – x_1)(x – x_2)…(x – x_n) = 0 \end{align}$$

将其展开,并观察多项式系数,$x_{n-1}$的系数: $$-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n$$ 常数项： $$(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n$$

比较常数项和$x_{n-1}$的系数，可以得到： $$\begin{aligned} a_0 &=(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n \\ a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n \end{aligned}$$

$\therefore$ $$\begin{equation} \begin{aligned} &\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2…x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\ &\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + … + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{aligned} \end{equation}$$

这就是一元n次方程的韦达公式。

GDI+ 提供用于存储和操作图像的 Image 和 Bitmap 类。 Image 和 Bitmap 对象用一个 32 位数字存储每个像素的颜色：红、绿、蓝和 Alpha 各 8 位。 这四个分量的值都是 0 到 255，其中 0 表示没有亮度，255 表示最大亮度。 alpha 分量指定颜色的透明度：0 表示完全透明，255 表示完全不透明。

颜色矢量采用 4 元组形式（红色、绿色、蓝色、alpha）。 例如，颜色矢量 (0, 255, 0, 255) 表示一种没有红色和蓝色但绿色达到最大亮度的不透明颜色。

表示颜色的另一种惯例是用数字 1 表示亮度达到最大。 通过使用这种约定，上一段中描述的颜色将可以由矢量 (0, 1, 0, 1) 表示。 在执行颜色变换时，GDI+ 遵循使用 1 为最大亮度的惯例。

可通过用 4×4 矩阵乘以这些颜色矢量将线性变换（旋转和缩放等）应用到颜色矢量中。 但是，您不能使用 4×4 矩阵进行平移（非线性）。 如果在每个颜色矢量中再添加一个虚拟的第 5 坐标（例如，数字 1），则可使用 5×5 矩阵应用任何组合形式的线性变换和平移。 由线性变换组成的后跟平移的变换称为仿射变换。

例如，假设您希望从颜色 (0.2, 0.0, 0.4, 1.0) 开始并应用下面的变换：

1. 将红色分量乘以 2。
2. 将 0.2 添加到红色、绿色和蓝色分量中。

下面的矩阵乘法将按照列出的顺序进行这对变换。

颜色矩阵的元素按照先行后列（从 0 开始）的顺序进行索引。 例如，矩阵 M 的第五行第三列由 M[4][2] 表示。

5×5 单位矩阵（在下面的插图中显示）在对角线上为 1，在其他任何地方为 0。 如果用单位矩阵乘以颜色矢量，则颜色矢量不会发生改变。 形成颜色变换矩阵的一种简便方法是从单位矩阵开始，然后进行较小的改动以产生所需的变换。

有关矩阵和变换的更详细的讨论，请参见坐标系统和变形。

示例

下面的示例采用一个使用一种颜色 (0.2, 0.0, 0.4, 1.0) 的图像，并应用上一段中描述的变换。

下面的插图在左侧显示原来的图像，在右侧显示变换后的图像。

下面示例中的代码使用以下步骤进行重新着色：

1. 初始化 ColorMatrix 对象。
2. 创建一个 ImageAttributes 对象，并将 ColorMatrix 对象传递给 ImageAttributes 对象的 SetColorMatrix 方法。
3. 将 ImageAttributes 对象传递给 Graphics 对象的 DrawImage 方法。

C#

VB

Image image = new Bitmap(“InputColor.bmp”);
ImageAttributes imageAttributes = new ImageAttributes();
int width = image.Width;
int height = image.Height;

float[][] colorMatrixElements = {
   new float[] {2,  0,  0,  0, 0},        // red scaling factor of 2
   new float[] {0,  1,  0,  0, 0},        // green scaling factor of 1
   new float[] {0,  0,  1,  0, 0},        // blue scaling factor of 1
   new float[] {0,  0,  0,  1, 0},        // alpha scaling factor of 1
   new float[] {.2f, .2f, .2f, 0, 1}};    // three translations of 0.2

ColorMatrix colorMatrix = new ColorMatrix(colorMatrixElements);

imageAttributes.SetColorMatrix(
   colorMatrix,
   ColorMatrixFlag.Default,
   ColorAdjustType.Bitmap);

e.Graphics.DrawImage(image, 10, 10);

e.Graphics.DrawImage(
   image,
   new Rectangle(120, 10, width, height),  // destination rectangle
   0, 0,        // upper-left corner of source rectangle
   width,       // width of source rectangle
   height,      // height of source rectangle
   GraphicsUnit.Pixel,
   imageAttributes);

编译代码

前面的示例是为使用 Windows 窗体而设计的，它需要 Paint 事件处理程序的参数 PaintEventArgse。

剪切是指按照与另一种颜色分量成比例的量来增加或减少颜色分量。 例如，考虑这样一种变换，将红色分量增加蓝色分量值的一半。 在这样的变换下，(0.2, 0.5, 1) 颜色将变成 (0.7, 0.5, 1)。 新的颜色分量是 0.2 + (1/2)(1) = 0.7。

示例

下面的示例从文件 ColorBars4.bmp 构造一个 Image 对象。 然后，该代码将上一段中描述的剪切变换应用到图像中的每个像素。

下面的插图在左侧显示原来的图像，在右侧显示剪切后的图像。

下表列出在剪切变换前后，四栏的颜色矢量。

Original	剪切后
(0, 0, 1, 1)	(0.5, 0, 1, 1)
(0.5, 1, 0.5, 1)	(0.75, 1, 0.5, 1)
(1, 1, 0, 1)	(1, 1, 0, 1)
(0.4, 0.4, 0.4, 1)	(0.6, 0.4, 0.4, 1)

VB

Image image = new Bitmap(“ColorBars.bmp”);
ImageAttributes imageAttributes = new ImageAttributes();
int width = image.Width;
int height = image.Height;

float[][] colorMatrixElements = {
        new float[] {1,  0,  0,  0, 0},
        new float[] {0,  1,  0,  0, 0},
        new float[] {0.5f,  0,  1,  0, 0},
        new float[] {0,  0,  0,  1, 0},
        new float[] {0, 0, 0, 0, 1}};

ColorMatrix colorMatrix = new ColorMatrix(colorMatrixElements);

imageAttributes.SetColorMatrix(
   colorMatrix,
   ColorMatrixFlag.Default,
   ColorAdjustType.Bitmap);

e.Graphics.DrawImage(image, 10, 10, width, height);

e.Graphics.DrawImage(
   image,
   new Rectangle(150, 10, width, height),  // destination rectangle
    0, 0,        // upper-left corner of source rectangle
    width,       // width of source rectangle
    height,      // height of source rectangle
    GraphicsUnit.Pixel,
   imageAttributes);

编译代码

前面的示例是为使用 Windows 窗体而设计的，它需要 Paint 事件处理程序的参数 PaintEventArgse。 用系统上有效的图像名称和路径替换 ColorBars.bmp。

在四维颜色空间中进行的旋转难于可视化。 可通过固定一种颜色分量以便使旋转可视化。 假设我们同意将 alpha 分量固定在 1（完全不透明）， 则可用红色、绿色和蓝色的轴形象地表示三维颜色空间，如下面的插图所示。

继续阅读“矩阵如何：旋转颜色”