神经网络原理

神经网络是什么?

神经网络是一组受人类大脑功能启发的算法。一般来说，当你睁开眼睛时，你看到的东西叫做数据，再由你大脑中的 Nuerons（数据处理的细胞）处理，并识别出你周围的东西，这也是神经网络的工作原理。神经网络有时被称为人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN），它们不像你大脑中的神经元那样是自然的，而是人工模拟神经网络的性质和功能。

神经网络的组成？

人工神经网络是由大量高度相互关联的处理单元（神经元）协同工作来解决特定问题。首先介绍一种名为感知机的神经元。感知机接收若干个输入，每个输入对应一个权重值（可以看成常数），产出一个输出。

接下来用一个生活中的例子形象理解感知机，假设一个场景，周末去爬山，有以下三种输入（可以理解为影响因素）：

1. 男/女朋友是否陪你去；
2. 天气是否恶劣；
3. 距离登山地点是否方便；

对于你来说，输入（2）影响非常大，这样就设置的权重值就大，输入（3）的影响的比较小，权重值就小。

再将输入二值化，对于天气不恶劣，设置为 1（$x_2=1$），对于天气恶劣，设置为 0（$x_2=0$），天气的影响程度通过权重值体现，设置为 10（$w_1=10$）。同样设置输入（1）的权值为 8（$w_2=8$），输入（3）的权重值为 1（$w_3=1$）。输出二值化是去爬山为 1（$y=1$），不去为 0（$y=0$）。

假设对于感知机，如果 $(x_1 \times w_1 + x_2 \times w_2 + x_3 \times w_3)$ 的结果大于某阈值（如 5），表示去爬山 $y=1$，随机调整权重和阈值，感知机的结果会不一样。

一个典型的神经网络有成百上千个神经元（感知机），排成一列的神经元也称为单元或是层，每一列的神经元会连接左右两边的神经元。感知机有输入和输出，对于神经网络是有输入单元与输出单元，在输入单元和输出单元之间是一层或多层称为隐藏单元。一个单元和另一个单元之间的联系用权重表示，权重可以是正数（如一个单元激发另一个单元） ，也可以是负数（如一个单元抑制或抑制另一个单元）。权重越高，一个单位对另一个单位的影响就越大。

神经网络如何工作？

神经网络的工作大致可分为前向传播和反向传播，类比人们学习的过程，前向传播如读书期间，学生认真学习知识点，进行考试，获得自己对知识点的掌握程度；反向传播是学生获得考试成绩作为反馈，调整学习知识的侧重点。

以下展示了 2 个输入和 2 个输出的神经网络：

前向传播对应的输出为 $y_1$ 和 $y_2$，换成矩阵表示为

$$\left( \begin{matrix} w_{1,1} & w_{2,1} \\ w_{1,2} & w_{2,2} \end{matrix} \right)* \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x_1*w_{1,1} + x_2*w_{2,1} \\ x_1*w_{1,2} +x_2* w_{2,2} \end{matrix} \right)$$ 以上 $W$ 矩阵每行数乘以 $X$ 矩阵每列数是矩阵乘法，也称为点乘（dot product）或内积（inner product)。

继续增加一层隐藏层，如下图所示，并采用矩阵乘法表示输出结果，可以看到一系列线性的矩阵乘法，其实还是求解 4 个权重值，这个效果跟单层隐藏层的效果一样：

$$\left( \begin{matrix} w_{1,1} & w_{2,1} \\ w_{1,2} & w_{2,2} \end{matrix} \right)* \left( \begin{matrix} w_{3,1} & w_{4,1} \\ w_{3,2} & w_{4,2} \end{matrix} \right)* \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \right)$$

大多数真实世界的数据是非线性的，我们希望神经元学习这些非线性表示，可以通过激活函数将非线性引入神经元。例如爬山例子中的阈值，激活函数 ReLU（Rectified Linear Activation Function）采用阈值 0，输入大于 0，输出为输入值，小于 0 输出值为 0，公式表示为 $F (z) = max (0,z)$，ReLU 的图像如下所示。

加入激活函数的神经网络如下图所示：

再以爬山为例，输出值 $y_1=5$ 表示去爬山，$y_2=1$ 表示不去爬山，在生活中会用概率表述爬山的可能性，这里通过 SoftMax 函数规范输出值，公式如下。

$$SoftMax(y_{i})=\frac{e^{y_{i}}}{\sum_{c = 1}^{C}{e^{y_{c}}}}$$

输出值 $y_1=5$ 和 $y_2=1$ 的计算过程如下，可以看到爬山的概率是 98%：

加入 SoftMax 函数的神经网络如下图所示：

获得神经网络的输出值 (0.98, 0.02) 之后，与真实值 (1, 0) 比较，非常接近，仍然需要与真实值比较，计算差距（也称误差，用 $e$ 表示），就跟摸底考试一样，查看学习的掌握程度，同样神经网络也要学习，让输出结果无限接近真实值，也就需要调整权重值，这里就需要反向传播了。

在反向传播过程中需要依据误差值来调整权重值，可以看成参数优化过程，简要过程是，先初始化权重值，再增加或减少权重值，查看误差是否最小，变小继续上一步相同操作，变大则上一步相反操作，调整权重后查看误差值，直至误差值变小且浮动不大。

现在以简单的函数 $y =(x-1)^2 + 1$ 为例，$y$ 表示误差，我们希望找到 $x$，最小化 $y$，函数展示如下。红色点是随机的初始点类比权重值的初始化，左边是当 $x$ 增大时，误差是减小；右边是当 $x$ 减小时，误差是减小。如何找到误差下降的方向成为了关键。

斜率的大小表明变化的速率，意思是当斜率比较大的情况下，权重 $x$ 变化所引起的结果变化也大。把这个概念引入求最小化的问题上，以权重导数乘以一个系数作为权重更新的数值，这个系数我们叫它学习率(learning rate)，这个系数能在一定程度上控制权重自我更新，权重改变的方向与梯度方向相反，如下图所示，权重的更新公式是 $W_{new} = W_{odd}-学习率*导数$。

由于误差是目标训练值与实际输出值之间的差值，即 $损失函数=(目标值-实际值)^2$，表示为 $(w \times x – y_{true})^2$，导数为: $$(w*x-y)^{'}=2w*x^{2}-2x*y=2x(y-y_{true})$$

经过反复迭代，让损失函数值无限接近 0，浮动不大时，获得合适的权重，即神经网络训练好了。

本文用生动形象语言的介绍了神经网络的基本结构及数学原理，为了方便大家理解，本文的参数围绕着 $W$，后续继续深入学习，若遇到其他参数，如 $b$，不用感到陌生，解决思路跟 $W$ 类似。

好了，祝大家有所进步！