千金散尽还复来

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\\ & +2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n\end{array}$$ 观察各个项，行和列按$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$的顺序排列成表格，每个格子内为行列相乘的项，平方项恰在对角线位置，其他项放在对角线上三角区域，可以得到下面方阵： $$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1& a_{11}{x}_1^2& 2a_{12}{x}_1{x}_2& 2a_{13}{x}_1{x}_3& \cdots & 2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ x_2& 0& a_{22}{x}_2^2& 2a_{23}{x}_2{x}_3& \cdots & 2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ x_3& 0& 0& a_{33}{x}_3^2& \cdots & 2a_{3n}{x}_3{x}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n& 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}{x}_n^2\end{array}\end{array}$$ 如果把像 $2a_{12} , 2a_{13},\dots,2a_{(n-1)n}$ 这样的2倍的系数沿着对角线对称的位置拆分放置，即$a_{12}=a_{21} , a_{13}=a_{31},\dots,a_{(n-1)n}=a_{n(n-1)}$，那么可以得到下面的样子：

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论 $$\{\begin{array}{rl}a.& 特征值无重根✅\\ b.& 有重根\{\begin{array}{rl}b.1.& 厄米特矩阵(Hermitian),\\ & 特别的对称实数矩阵✅\\ b.2.& 非厄矩阵\{\begin{array}{rl}b.2.& 1.几何重数\\ & =代数重数✅\\ b.2.& 2.几何重数\\ & \ne 代数重数❌\end{array}\end{array}\end{array}$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵$A$的m个特征值，$p_1,p_2,\dots,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,\dots,p_m$线性无关。

一元n次方程 $$\begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0 \end{align}$$ 的根为$x_1, x_2, …, x_n$，其中$a_n \neq 0$。 那么(1)式可以写成下面的形式： $$\begin{align} a_n(x – x_1)(x – x_2)…(x – x_n) = 0 \end{align}$$

将其展开,并观察多项式系数,$x_{n-1}$的系数: $$-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n$$ 常数项： $$(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n$$

比较常数项和$x_{n-1}$的系数，可以得到： $$\begin{aligned} a_0 &=(-1)^nx_1x_2…x_{n-1}a_n \\ a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + … + x_n)a_n \end{aligned}$$

$\therefore$ $$\begin{equation} \begin{aligned} &\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2…x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\ &\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + … + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{aligned} \end{equation}$$

这就是一元n次方程的韦达公式。

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